Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
·- El conjunto inicial o dominio de la función.
· -El conjunto final o imagen de la función.
· -La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Ejemplo: Hallar el campo de existencia de la función f definida por
Resolución:
· La función anterior asigna a cada número x, el valor
El campo de existencia está formado por todos los números reales x, para los que su imagen está definida mediante la función f.
aquellos que anulen el denominador, puesto que la expresión 1/0 no es un número real. El denominador x - 2 se anula cuando x = 2.
Por tanto, el campo de existencia de la función es R - {2}
Ejemplo
Resolución:
cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de los números reales.
Las funciones pueden ser clasificadas principalmente en tres categorías basadas en como las imágenes y los argumentos están asignados, a saber en otra función inyectiva, función sobreyectiva y función biyectiva.
"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").
"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). "Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
Una función inyectiva, también llamada función uno a uno, es aquella que conserva la distinción, es decir, no asigna los distintos elementos en su dominio al mismo elemento en su co-dominio. En otras palabras, podemos decir que hay una asignación uno a uno entre los elementos del dominio y el co-dominio de una función. A la luz de la declaración anterior, podemos concluir que hay una salida diferente para cada entrada de la función.
La notación utilizada para representar una función inyectiva es la flecha con cola de pescado, es decir, f: A> B, donde f es una función de A a B. Tal función asegura una imagen diferente para cada elemento en el dominio de la función Ejercicio: determina si la sig funcion en inyectiva o no lo es
Asignando valores a "x" y representándolos en la tabla resulta:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
5
2
-1
-2
-1
2
5
:Donde su gráfica será
Una función sobreyectiva, también conocida con el nombre de sobre función, es aquella en la cual podemos obtener todos los números en el co-dominio de la función por la aplicación de la correspondencia / función f a un número en el dominio de la función. En tal escenario, pueden existir varios elementos en el dominio de la función que se asignen al mismo elemento en el co-dominio de la función.
En términos matemáticos, una función sobreyectiva es una función f: A B donde el rango de la función es igual al co-dominio de la función. En general, una función con rango R y co-dominio B posee la propiedad de que R es subconjunto de B.
Por lo tanto, con el fin de demostrar que una función es una función sobreyectiva, debemos probar que B es un subconjunto de R. Con este fin uno puede tomar arbitrariamente cualquier elemento del co-dominio y demostrar que este existe como la imagen de algún elemento en el dominio de la función.
Una función biyectiva es aquella que es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva, es decir, es una combinación de los dos tipos de funciones mencionadas anteriormente. Una función biyectiva es aquella en la que tenemos un solo elemento en el dominio de la función para cada elemento en el co-dominio de la función, lo que implica que f(x) = y, donde x ε X (dominio de la función) y y ε Y (co-dominio de la función).
A la luz de la declaración anterior se concluye que no puede existir ningún elemento sin asignar ya sea en el dominio o en el co-dominio. Observe un ejemplo resuelto para un mejor entendimiento, La función f es definida como f: N N (donde N es un conjunto de números naturales) y f(x) = x+2. ¿Es esta función sobreyectiva? Solución: Dado que, N = {1, 2, 3, 4…} y X = Y = N
Para: X Y
Donde x = 1 f(x) = 3
Donde x = 2 f(x) = 4
Entonces f(x) nunca toma el valor de 1 y 2. Por lo tanto, Y tiene dos elementos que no poseen pre-imagen en X. Lo que significa que esta no es una función sobreyectiva.
Para dar inicio a la nueva unidad , antes se deben conocer o reafirmas algunos conceptos los cuales se describiran en el primer punto de este blog , espero sea comprensible y de su agrado
2.1 Concepto de una Variable , Funcion , Dominio , Codominio y Recorrido de una funcion
Variable
La matemática se destaca como ámbito del uso de las variables: están presentes en fórmulas, proposiciones y algoritmos. También se ve la idea de variables independientes y dependientes, destacándose las funciones matemáticas que permiten la conformación de gráficos de dos o más ejes: la relación entre esos dos ejes viene dada por una función en la que uno de los dos es variable en función del otro, que es invariable (Y es igual a la mitad de X, tiene a Y como variable dependiente y a X como independiente). En la estadística se utiliza también la variable en el sentido matemático, encarada desde la misma perspectiva: al ser medida en diferentes casos adopta distintos valores. Una clasificación interna divide a las variables estadísticas según expresen cantidades numéricas (variables cuantitativas o continuas) o expresen características, cualidades o modos de comportamiento (variables cualitativas o discretas).
- Ejercicios:
2x+3=5 Variable- X
2b+3a-2c=0 Variables= a,b,c
Funcion
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamadocodominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman elrecorrido, también llamado rango o ámbito).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado"
Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota
f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B f : X -----> Y) o f(x) = x
Dominio
El conjunto de todos los posibles valores de ingreso que la función acepta.
Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: “conjunto de valores quepuede tomar x…” ¿por qué decimos puede? Porque no todos los valores son válidos, por ejemplo, si la función es: vemos que si a x le das el valor cero, te queda:
El valor infinito no lo podemos representar si no es con un signo o una palabra. El infinito no es un número, es un concepto, una idea, luego, no nos vale como valor numérico de y. Otro caso sería el de la función: A x no le podemos dar el valor de un número negativo, por ejemplo: porque los números negativos no tienen raíz cuadrada. (Ningún número multiplicado por sí mismo -incluido su signo- puede darte un valor negativo).
Codominio o recorrido
El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.
El rango es el conjunto de valores que realmente salen.
El codominio de una función también es un conjunto, y seguramente ya estás deduciendo el concepto a partir de los puntos anteriormente abordados. De hecho, el codominio de una función, es lo que llamamos el conjunto de “llegada” es decir, el conjunto del que forman parte aquellos elementos resultantes de la interacción del conjunto de partida con su participación en la función.
Veamos la tabla de valores de la función anterior, expresada en un diagrama de Venn:
El dominio son todos los Números reales, de los cuales hemos utilizado algunos que vemos en el diagrama de la izquierda; el codominio también son los Números reales, y entre ellos, llamamos imagen o rango a aquellos que terminan siendo efectivamente resultado de la función, en este caso serían -3, -1, 0, 1, 5 y 7.
Nombre: Jorge Antonio Medina Narvaez Escuela: Tecnologico de Matamoros Fecha: 28/09/2015 Carrera: Ing. Mecatronica Materia: Calculo Diferencial No. de Control: 15260742
Unidad 1 Números Reales
Introducción
Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El término proviene del latín numĕrus y hace referencia a un signo o un conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0)
1.1 La Recta Numérica
Todos los números pueden ordenarse en una recta numérica. De esta manera, podemos determinar si un número es mayor o menor que otro, dependiendo del lugar que ocupa en la recta numérica.
Decimos que un número es menor, cuando está ubicado a la izquierda de otro en la recta numérica, o sea, está más cerca del 0 y, decimos que es mayor, cuando se ubica a la derecha de otro y está más alejado del cero.
A B C) (7)(2)<(3)(6) a<b |----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----| 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 14<18
A B D) (2)(3)/3< (2)(3)/2 |----|----|----|----|----|----|----|----|----| 2 < 3 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 a<b B A E) 45>30/2 a>b |----|----|----|----|----|----|----| -60 -45 -30 -15 0 15 30 45
a>b A B F) 20<10(3) a<b |----|----|----|----|----|----|----|
-30 -20 -10 0 10 20 30 40
a<b
1.2 Los Números Reales
Los números reales (denotado por ℝ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales a periódicas, tales como: √5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.1
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.
Ejercicios
Identifica la categoría de cada numero real representado
G) Distributiva de la multiplicación con su propiedad (G) 9(2+3)= 9(2) + 9(3)
1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:
≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero
1)Ejemplo:
5>x > 0 ; porque 5 – 0 = 5
Intervalo
(5>x>0)
2º Todo número negativo es menor que cero
2)Ejemplo:
–9<x < 0 ; porque –9 –0 = –9
Intervalos
(-9<x<0)
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
3)Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Intervalos
(-10>x>-30)
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
4)Por ejemplo:
X + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos:
3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.
Propiedades de las desigualdades
1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)
a ± c < b ± c
5)Ejemplo:
2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
2 + x − 2 > 16 − 2
x > 14
Intervalo
(14<x<+infinito)
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:
a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c < b • c
a > b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c
6)Ejemplo
3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
Intervalo
[3/5<x<+infinito)
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c
7)Ejemplo:
15 – 3 • x ≥ 39 / −15
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3
x ≤ 24: (−3)
x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
Intervalo
(-infinito<x≤ − 8]
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.
1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de desigualdades cuadráticas con una incógnita
1)Ejemplo
3x – 5 ≥ 5x + 15
Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad
3x – 5 + 5 ≥ 5x + 15 + 5
3x ≥ 5x + 20
Multiplicamos a los dos lados por 3/7
3/7(7/3)x < 3/7(1/2)
x < 3/14
Nótese que en este caso no hubo cambio de dirección de la desiguladad por que la multiplicación fue por un número positivo.
El resultado es el intervalo (-∞ , 3/14)
3)Ejemplo
x2 > 3x + 4
Primero expresamos la desigualdad como una ecuación y resolvemos.
x2 = 3x + 4
Restamos (3x + 4) a los dos lados para que uno de los lados quede con valor cero.
x2 – (3x + 4) = 3x + 4 – (3x + 4)
x2 – 3x – 4 = 0
Como obtuvimos un trinomio cuadrado, lo podemos resolver por fórmula general o por factorización. En este caso utilizaremos la factorización.
(x + 1)(x – 4) = 0
Separamos cada uno de los factores y los solucionamos
Primer factor
x + 1 = 0
x1 = -1
Segundo factor
x – 4 = 0
x2 = 4
4)Ejemplo
x2 − 6x + 8 > 0
x2 − 6x + 8 = 0
5)Ejemplo
7x2 + 21x − 28 < 0
x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
(−4, 1)
6)Ejemplo
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0
P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0
P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
(-∞ , −2] [2, +∞)
7) Ejemplo
4x2 − 4x + 1 ≤ 0
4x2 − 4x + 1 = 0
1.6 Valor Absoluto y sus propiedades
El valor absoluto de un número real a coincide con él mismo si es positivo ó 0, y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|.
De modo que el valor absoluto de cualquier número nunca es negativo.
El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto.
Ejemplos de valor absoluto
a) |3,5| = 3,5
b) |-1,6| = 1,6
c) |4 - 9| = |-5| = 5
d) |π - 2| = π - 2 = 1,141...
Propiedades del valor absoluto
Ejemplos de las propiedades del valor absoluto
1. |-7| = |7| =7
2. |(-2) · 5| = |-10| = 10 = |-2| · |5| = 2 · 5
3. |4 + 2| = |6| = 6 = |4| + |2|
Igualmente:
|4 + (-2)| = |2| = 2 ≤ |4| + |-2| = 4 + 2 = 6
4. Si |3|<4, entonces -4 < 3 < 4
Observaciones de las propiedades del valor absoluto
|x| = a son los valores x tales que x = a o x = - a
|x| < a son los valores x tales que - a < x < a
|x| > a son los valores x tales que x < - a o x > a
La desigualdad |x| ≤ a describe el intervalo cerrado [-a , a] , simétrico respecto al origen.
Y los números reales |x| < a son los del intervalo abierto (-a, a).
La desigualdad |x| ≥ a describe la unión de los intervalos (-∞ , -a] ∪ [a , ∞).
Y los números reales |x| > a son la unión de los intervalos abiertos (-∞ , -a) ∪ (a , ∞).
La desigualdad |x - c| < d es el intervalo abierto (c - d , c + d) , denominado también entorno de centro c y radio d, E(c , r).
La desigualdad |x - c| ≤ d es el intervalo cerrado [c - d , c + d].
La desigualdad |x - c| > d es la unión de los intervalos (-∞ , c - d) ∪ (c + d , ∞).
La desigualdad |x - c| ≥ d es la unión de los intervalos (-∞ , c - d] ∪ [c + d , ∞).
1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto
1)Resolvamos la desigualdad
.
Utilizando la propiedad (6), tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
Por lo tanto, la solución de la desigualdad es el intervalo .
2)Ejemplo.
Resolvamos la desigualdad .
La propiedad (7) nos dice que la desigualdad es equivalente a
Resolviendo
o sea
Por lo tanto, la solución de la desigualdad dada es
3)Ejemplo.
Resolvamos la desigualdad .
Utilizando la propiedad (8) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:
Elaborando un diagrama de signos tenemos
Signo de + - -
Signo de - - +Signo de - + -
Vemos que la solución de la desigualdad es .
Ejemplo 4:
Resuelva y grafique.
|x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Ejemplo 5)Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b, entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 6)Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | > b, entonces a > b O a < - b .
vemos que si a x le das el valor cero, te queda: 
porque los números negativos no tienen raíz cuadrada. (Ningún número multiplicado por sí mismo -incluido su signo- puede darte un valor negativo).
[2, +∞)
.
.
.
.
+ - -
- - +Signo de 
- + -
.
.